METODE NUMERIK

DAFTAR ISI

Pendahuluan          …………………………………………………………………………….…  1

Daftar Isi      ………………………………………………………………………………………… 2

Pembahasan           ………………………………………………………………………………   3

-         Galat Total    ………………………………………………………………………………..        3

-         Galat Pembulatan  ………………………………………………………………........        3

-         Orde Penghampiran         …………………………………………….………………        4

-         Angka Bena  ………………………………………………………………………………..        4-5

GALAT TOTAL

Dalam implementasinya, galat pemotongan dan galat pembulatan kerap kali muncul. Sehingga jika keduanya dijumlahkan akan menghasilkan galat total. Atau dengan kata lain, galat total yang dihasilkan oleh sebuah proses metode numerik adalah galat pemotongan dan galat pembulatan.

GALAT PEMBULATAN

Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil.Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin (dalam hal inikomputer) karena semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalamkomputer. Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkangalat yang disebut galat pembulatan. Sebagai contoh 1/6 = 0.166666666… tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer karena digit 6 panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah digit (atau bit dalam sistem biner) saja. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat direpresentasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat. Misalnya sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka berarti, maka representasi bilangan 1/6 = 0.1666666666… di dalam komputer 6-digit tersebut adalah 0.166667. Galat pembulatannya adalah 1/6 – 0.166667 = -0.000000333. Contoh dalam sistem biner misalnya

1/10 = 0.000110011001100110011 00110011…2 direpresentasikan di dalam komputer dalam jumlah bit yang terbatas. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua buah cara penyajian bilangan riil, yaitu bilangan titik-tetap (fixed point) dan bilangan titik-kambang (floatingpoint) Dalam format bilangan titik -tetap setiap bilangan disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap, misalnya 62.358, 0.013, 1.000. Sedangkan dalam format bilangan titik-kambang setiap bilangan disajikan dengan jumlah digit berarti yang sudah tetap, misalnya 0.6238 103 0.1714 10-13 atau ditulis juga 0.6238E+03 0.1714E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik-kambang disebut juga angka bena (significant figure). Konsep angka bena dijelaskan berikut ini.

ORDE PENGHAMPIRAN

Di dalam metode numerik,fungsi f(x) sering diganti dengan fungsi hampiran,yang lebih sederhana. Satu cara mengungkapkan tingkat ketelitian penghampiran itu adalah dengan mengunakan notasi O besar (big –oh).
Misalkan f(h) dihampiri dengan fungsi p(h). Jika |f(h)- p(h)| M | h”|, yang dalam hal ini M adalah konstanta riil > 0. maka kita katakan bahwa p(h) menghampiri f(h) dengan orde penghampiran O(h”) dan kita tulis sebagai berikut :
F(h) = p(h) + O(h”)
O(h”) juga dapat diartikan sebagai orde galat dari penghampiran fungsi,karena h umumnya cukup kecil yaitu lebih kurang dari 1, maka semakin tinggi nilai n, semakin kecil nilai galat, yang berarti semakin teliti penghampiran fungsinya.
Umumnya deret taylor digunakan untuk penghampiran fungsi misalkan,
= + h , i= 0,1,2................
Adalah titik-titik selebar h,maka hampiran f( ) dengan deret taylor disekitar adalah
f( )= f( )+ f’(x) + f”(x) + ....+
=
Rumus diatas menyatakan bahwa jika fungsi F(x) dihampiri dengan deret taylor derajat n ,maka suku sisanya cukup dinyatakan dengan lambang O( ). Sebagai catatan, suku sisa yang digunakan dalam notasi O-besar adalah suku yang dimulai dengan perpangkatan h
Sebagai contoh :
(bukan O( ),karena suku orde 6 = 0)
(bukan O(h),karena suku orde 7 = 0)

ANGKA BENA

Konsep angka bena (significant figure) atau angka berarti telah dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai numerik. Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan dengan pasti

Contohnya,

• 43.123 memiliki 5 angka bena (yaitu 4, 3, 1, 2, 3)
• 0.1764 memiliki 4 angka bena (yaitu 1, 7, 6, 4)
• 0.0000012 memiliki 2 angka bena (yaitu 1, 2)
• 278.300 memiliki 6 angka bena (yaitu 2, 7, 8, 3, 0, 0)
• 270.0090 memiliki 7 angka bena (yaitu 2, 7, 0, 0, 0, 9, 0)
• 0.0090 memiliki 2 angka bena (yaitu 9, 0)
• 1360, 1.360, 0.001360 semuanya memiliki 4 angka bena

Perhatikanlah bahwa angka 0 bisa menjadi angka bena atau bukan. Pada contoh 0.001360, tiga buah angka nol pertama tidak berarti, sedangkan 0 yang terakhir angka berarti karena pengukuran dilakukan sampai ketelitian 4 digit. Jumlah angka bena akan terlihat dengan pasti bila bilangan riil itu ditulis dalam penulisan ilmiah (scientific notation), misalnya tetapan dalam kimia dan fisika atau ukuran jarak dalam astronomi. Jumlah angka bena terletak pada jumlah digit mantis-nya (tentang mantis ini akan dibahas belakangan):

• 4.3123 ´ 101 memiliki 5 angka bena
• 1.764 ´ 10-1 memiliki 4 angka bena
• 1.2 ´ 10-6 memiliki 2 angka bena
• 2.78300 ´ 102 memiliki 6 angka bena
• 0.2700090 ´ 103 memiliki 7 angka bena
• 9.0 ´ 10-3 memiliki 2 angka bena
• 13.60 ´ 102 , 0.1360 ´ 101 , 1.360 ´ 10-3 memiliki 4 angka bena
• 6.02 ´ 1023 memiliki 24 angka bena (bilangan Avogadro)
• 1.5 ´ 107 memiliki 8 angka bena (jarak bumi-matahari)

Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka bena. Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena komputer akan disimpan dalam sejumlah angka bena komputer itu. Pengabaian angka bena sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan.